83 指考數學甲第 7 題

Question

方程式 $\log_2 x = x - 1$，$x > 0$ 的解的個數為

Accepted Answer

答案：$(3)$
考慮兩函數 $y = \log_2 x$ 與 $y = x - 1$ 的交點：
- 當 $x = 1$ 時，$\log_2 1 = 0$ 且 $1 - 1 = 0$，故 $x = 1$ 為一解。
- 當 $x = 2$ 時，$\log_2 2 = 1$ 且 $2 - 1 = 1$，故 $x = 2$ 為一解。

因為對數函數 $y = \log_2 x$ 為凹向下（concave down）函數，而 $y = x - 1$ 為直線，
兩圖形在 $x > 0$ 時最多交於兩點，故此方程式恰有 $2$ 個實根。

答案為選項 $(3)$。