當 $x = 1$ 時，$\log_a 1 = 0$ 且 $2(1-1) = 0$，故 $x=1$ 恆為此方程式之一解。 若該方程式僅有一解，則對數函數 $y = \log_a x$ 與直線 $y = 2(x-1)$ 必須在 $x = 1$ 處相切。 - 對數函數 $y = \log_a x$ 在 $x = 1$ 的切線斜率為： $$y'\Big|_{x=1} = \dfrac{1}{x \ln a}\Big|_{x=1} = \dfrac{1}{\ln a}.$$ - 直線 $y = 2(x-1)$ 的斜率為 $2$。 令兩者斜率相等可得相切條件： $$\dfrac{1}{\ln a} = 2 \implies \ln a = \dfrac{1}{2} \implies a = e^{1/2} = \sqrt{e}.$$ 答案為選項 $(5)$。