83 指考數學甲第 10 題

Question

若對所有實數 $x$，$3x^2+2ax-a \ge 0$ 恆成立，則 $a$ 之範圍為 ____。

Accepted Answer

答案：$-3 \le a \le 0$
令二次函數 $f(x) = 3x^2+2ax-a$。
若對所有實數 $x$，$f(x) \ge 0$ 恆成立，因其領導係數 $3 > 0$，故其判別式 $\Delta \le 0$：
$$\Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a) \le 0$$
$$4a^2 + 12a \le 0 \implies a(a+3) \le 0$$
解得 $-3 \le a \le 0$。