- (1) 計算 $\log_5 72$： 利用換底公式將底數換為 $10$： $$\log_5 72 = \dfrac{\log_{10} 72}{\log_{10} 5} = \dfrac{\log_{10}(2^3 \cdot 3^2)}{\log_{10}\left(\dfrac{10}{2}\right)}$$ $$= \dfrac{3\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3}{\log_{10} 10 - \log_{10} 2} = \dfrac{3a+2b}{1-a}.$$ - (2) 計算 $\log_6 \left[ \sqrt{5}\left(\sqrt{14 - 4\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right) \right]$： 先簡化括號內的雙重根式： - $\sqrt{14-4\sqrt{6}} = \sqrt{14-2\sqrt{24}} = \sqrt{12}-\sqrt{2} = 2\sqrt{3}-\sqrt{2}$。 - $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$。 將兩者相加： $$\sqrt{14 - 4\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = (2\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 3\sqrt{3}.$$ 代回原式： $$\log_6 \left[ \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \right] = \log_6 3\sqrt{15} = \log_6\left(3 \cdot 15^{1/2}\right) = \log_6\left(3 \cdot 3^{1/2} \cdot 5^{1/2}\right) = \log_6\left(3^{3/2} \cdot 5^{1/2}\right)$$ 利用換底公式將底數換為 $10$： $$\log_6 3\sqrt{15} = \dfrac{\log_{10}(3^{3/2} \cdot 5^{1/2})}{\log_{10} 6} = \dfrac{\dfrac{3}{2}\log_{10} 3 + \dfrac{1}{2}\log_{10} 5}{\log_{10} 2 + \log_{10} 3}$$ 將 $\log_{10} 5 = 1 - a$ 代入： $$= \dfrac{\dfrac{3}{2}b + \dfrac{1}{2}(1-a)}{a+b} = \dfrac{3b+1-a}{2(a+b)} = \dfrac{3b+1-a}{2a+2b}.$$