**解法一：平面族法** 將直線 $L$ 的方程式化為兩平面相交的兩面式： - 由 $\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-6}{3} \implies 3x-2y+15=0$ - 由 $\dfrac{y-6}{3} = \dfrac{z+1}{-5} \implies -5y-3z+27=0$ 設所求平面 $E$ 的方程式為： $$(3x-2y+15) + k(-5y-3z+27) = 0 \implies 3x - (2+5k)y - 3kz + (15+27k) = 0$$ 平面 $E$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = (3, -2-5k, -3k)$。 已知平面 $\pi : x-3y+2z+4=0$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_\pi = (1, -3, 2)$。 因為平面 $E$ 與平面 $\pi$ 垂直，故其法向量互相垂直： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_\pi = 0 \implies 3(1) - (2+5k)(-3) - 3k(2) = 0$$ $$3 + 6 + 15k - 6k = 0 \implies 9 + 9k = 0 \implies k = -1.$$ 將 $k = -1$ 代回平面 $E$ 方程式： $$(3x-2y+15) - (-5y-3z+27) = 0 \implies x+y+z-4=0\text{（或 } x+y+z=4 \text{）}.$$ **解法二：外積法** - 在直線 $L$ 上取一點 $P(-1, 6, -1)$，其方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_L = (2, 3, -5)$。 - 平面 $\pi$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_\pi = (1, -3, 2)$。 所求平面 $E$ 包含直線 $L$ 且與平面 $\pi$ 垂直，故平面 $E$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E$ 必與直線方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_L$ 以及平面法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_\pi$ 同時垂直。 利用向量外積求法向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = \overset{\large\rightharpoonup}{v}_L \times \overset{\large\rightharpoonup}{n}_\pi = \begin{vmatrix} \overset{\large\rightharpoonup}{i} & \overset{\large\rightharpoonup}{j} & \overset{\large\rightharpoonup}{k} \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= (6-15)\overset{\large\rightharpoonup}{i} - (4-(-5))\overset{\large\rightharpoonup}{j} + (-6-3)\overset{\large\rightharpoonup}{k} = (-9, -9, -9).$$ 取平行且最簡之法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E' = (1, 1, 1)$。 使用點法式，平面 $E$ 通過點 $P(-1, 6, -1)$： $$1(x+1) + 1(y-6) + 1(z+1) = 0 \implies x+y+z=4.$$