設交點為 $P(x, y)$。 - (1) 求 $L_2$ 的斜率： 對曲線 $\Gamma_2 : x^2 - y^2 = c$ 進行隱函數微分： $$2x - 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}.$$ 故切線 $L_2$ 的斜率為 $m_2 = \dfrac{x}{y}$。 將交點 $P(x, y)$ 代入曲線 $\Gamma_1 : \sqrt{3}(x^2 - y^2) = 2xy$。由於 $P$ 點在 $\Gamma_2$ 上，故有 $x^2 - y^2 = c$。代入得： $$\sqrt{3}c = 2xy \implies xy = \dfrac{\sqrt{3}}{2}c.$$ 因為 $c > 0$，所以 $xy > 0$，即 $x$ 與 $y$ 同號。 設 $t = \dfrac{x}{y}$。由 $x^2 - y^2 = c \implies y^2(t^2-1) = c \implies y^2 = \dfrac{c}{t^2-1}$。 又由 $xy = \dfrac{\sqrt{3}}{2}c \implies t y^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}c \implies y^2 = \dfrac{\sqrt{3}c}{2t}$。 聯立兩式： $$\dfrac{c}{t^2-1} = \dfrac{\sqrt{3}c}{2t} \implies 2t = \sqrt{3}(t^2-1) \implies \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$$ 因式分解得 $(\sqrt{3}t+1)(t-\sqrt{3}) = 0$。解得 $t = \sqrt{3}$ 或 $t = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。 因為 $x, y$ 同號，所以 $t = \dfrac{x}{y} > 0$，故得 $t = \sqrt{3}$。 所以切線 $L_2$ 的斜率為 $m_2 = \sqrt{3}$。 - (2) 求 $L_1$ 與 $L_2$ 所夾的銳角： 對曲線 $\Gamma_1 : \sqrt{3}x^2 - \sqrt{3}y^2 - 2xy = 0$ 進行隱函數微分： $$2\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}y \dfrac{dy}{dx} - 2y - 2x \dfrac{dy}{dx} = 0$$ $$(\sqrt{3}y+x)\dfrac{dy}{dx} = \sqrt{3}x-y \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{3}x-y}{x+\sqrt{3}y}.$$ 故切線 $L_1$ 的斜率為： $$m_1 = \dfrac{\sqrt{3}x-y}{x+\sqrt{3}y} = \dfrac{\sqrt{3}\left(\dfrac{x}{y}\right)-1}{\left(\dfrac{x}{y}\right)+\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}t-1}{t+\sqrt{3}}.$$ 將 $t = \sqrt{3}$ 代入得： $$m_1 = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \dfrac{3-1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$$ 設切線 $L_1$ 與 $L_2$ 的傾角分別為 $\theta_1$ 與 $\theta_2$： - $\tan\theta_1 = m_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta_1 = 30^\circ$。 - $\tan\theta_2 = m_2 = \sqrt{3} \implies \theta_2 = 60^\circ$。 故兩切線所夾的銳角為： $$\theta_2 - \theta_1 = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ.$$