首先求單位圓 $C_1$（外接圓半徑 $R_1=1$）之內接正三角形 $T_1$ 的邊長與面積 $a_1$： 邊長 $s_1 = 2 R_1 \sin 60^\circ = \sqrt{3}$。 面積 $$a_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} s_1^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.$$ $C_2$ 為 $T_1$ 之內切圓，其內切圓半徑 $r_2 = R_1 \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$。 依此類推，每一個新的三角形 $T_{i+1}$ 相比於前一個三角形 $T_i$，其外接圓半徑縮小為 $\dfrac{1}{2}$，邊長縮小為 $\dfrac{1}{2}$，因此面積 $a_{i+1}$ 縮小為前一個的 $\dfrac{1}{4}$。 也就是說，數列 $\{a_i\}$ 是一個首項 $a_1 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$、公比 $q = \dfrac{1}{4}$ 的等比數列。 求前 $5$ 項的和： $$S_5 = \dfrac{a_1(1-q^5)}{1-q} = \dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^5\right)}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \left(1 - \dfrac{1}{1024}\right)}{\dfrac{3}{4}} = \sqrt{3} \left(\dfrac{1023}{1024}\right) = \dfrac{1023\sqrt{3}}{1024}.$$