因為 $f(x)$ 為實係數多項式，且有一複根 $2+i$， 根據實根共軛定理，$f(x)$ 必有另一複根 $2-i$。 因此，$f(x)$ 含有因式： $$(x-(2+i))(x-(2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2-4x+5$$ 利用多項式除法，將 $f(x)$ 因式分解： $$f(x) = x^4-5x^3+3x^2+19x-30 = (x^2-4x+5)(x^2-x-6) = (x^2-4x+5)(x+2)(x-3)$$ 欲求滿足 $f(a) < 0$ 的實數 $a$ 範圍： $$f(a) = (a^2-4a+5)(a+2)(a-3) < 0$$ 因為對任意實數 $a$： $$a^2-4a+5 = (a-2)^2 + 1 > 0$$ 恆大於 $0$，所以不等式化簡為： $$(a+2)(a-3) < 0 \implies -2 < a < 3.$$ 故實數 $a$ 的範圍為 $-2 < a < 3$。