**解法一（幾何中垂線交點法）**： $P(k,0)$ 與 $Q(2,0)$ 的中點為 $\left(\dfrac{k+2}{2}, 0\right)$， 故弦 $\overline{PQ}$ 的中垂線方程式為： $$x = \dfrac{k+2}{2} \ \ \cdots (1)$$ $R(0,1)$ 與 $Q(2,0)$ 的中點為 $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$。直線 $RQ$ 的斜率為： $$m_{RQ} = \dfrac{0-1}{2-0} = -\dfrac{1}{2}$$ 故弦 $\overline{RQ}$ 的中垂線斜率為 $2$，其中垂線方程式為： $$y - \dfrac{1}{2} = 2(x - 1) \implies y = 2x - \dfrac{3}{2} \ \ \cdots (2)$$ 圓心 $S$ 為此兩中垂線的交點，將式 $(1)$ 代入式 $(2)$： $$y = 2\left(\dfrac{k+2}{2}\right) - \dfrac{3}{2} = k + \dfrac{1}{2}$$ 開括號得圓心坐標為 $S\left(\dfrac{k+2}{2}, \dfrac{2k+1}{2}\right)$。 因為圓在點 $P(k,0)$ 的切線斜率為 $1$，且圓心與切點的連線 $\overline{SP}$ 必垂直於此切線， 故直線 $SP$ 的斜率必為 $-1$： $$m_{SP} = \dfrac{\dfrac{2k+1}{2} - 0}{\dfrac{k+2}{2} - k} = -1$$ $$\dfrac{2k+1}{2-k} = -1 \implies 2k+1 = k-2 \implies k = -3$$ 將 $k = -3$ 代回圓心坐標 $S$，可得圓心為： $$S(\dfrac{-3+2}{2}, \dfrac{2(-3)+1}{2}) = (-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2})$$ 答：$k = -3$，圓心坐標為 $(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2})$。