方程組 $M_t \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 恆有解的充分且必要條件為其係數矩陣的行列式值不為零，即 $\det(M_t) \neq 0$。 根據行列式性質， $\det(M_t) = \det\begin{bmatrix} t & 1 \\ 3-t & t+1 \end{bmatrix} \times \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ t+3 & 3t+1 \end{bmatrix}$ $= [t(t+1) - (3-t)] \times [1(3t+1) - 2(t+3)]$ $= (t^2+2t-3)(t-5)$ $= (t-1)(t+3)(t-5)$。 若 $\det(M_t) \neq 0 \Rightarrow (t-1)(t+3)(t-5) \neq 0$，則 $t \notin \{1, -3, 5\}$。 答案為選項 $(4)$。