因為 $A(2,-3,5)$ 與 $B(3,0,10)$ 的 $z$ 坐標均大於 $0$，它們在平面 $z=0$（即 $xy$ 平面）的同側。而 $C(x,y,0)$ 位於 $z=0$ 平面上。 使 $\Delta ABC$ 周長最小，由於邊 $\overline{AB}$ 長度固定，等同於求 $\overline{CA} + \overline{CB}$ 的最小值。 取點 $A(2,-3,5)$ 對平面 $z=0$ 的對稱點 $A'(2,-3,-5)$，此時 $\overline{CA} = \overline{CA'}$，故 $\overline{CA} + \overline{CB} = \overline{CA'} + \overline{CB}$。 當 $A', C, B$ 三點共線時，$\overline{CA'} + \overline{CB}$ 有最小值，此時 $C$ 點為直線 $A'B$ 與平面 $z=0$ 的交點。 直線 $A'B$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{A'B} = (3-2, 0-(-3), 10-(-5)) = (1, 3, 15)$。 直線 $A'B$ 的參數式為： $\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3t \\ z = 10 + 15t \end{cases}$，其中 $t$ 為實數。 將其代入平面 $z=0$，得 $10 + 15t = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{2}{3}$。 代回參數式可得 $C$ 點坐標為 $\left(3 - \dfrac{2}{3}, 3\left(-\dfrac{2}{3}\right), 0\right) = \left(\dfrac{7}{3}, -2, 0\right)$。