84 指考數學甲第 15 題

Question

圖中 $ABCDEF$ 為正六邊形，將各邊延長成一個六角星形，令正六邊形所圍成之區域為 $R_1$，斜線區域為 $R_2$，設 $f(x,y)=5x-4y$，則 $f(x,y)$ 在 $R_1$ 上之最大值為________________；$f(x,y)$ 在 $R_2$ 上之最小值為________________。

Accepted Answer

答案：$5\sqrt{3}-6$，$-22-5\sqrt{3}$
正六邊形的邊長為 $4$。由圖可知，各頂點的坐標，其中：
$E$ 點坐標為 $(2+\sqrt{3}, 4)$。
$G$ 點（六角星形的外側頂點之一）坐標為 $(2-\sqrt{3}, 8)$。

根據線性規劃的平行線原理：

1. 目標函數 $f(x,y) = 5x-4y$ 在區域 $R_1$ 上的最大值發生在頂點 $E(2+\sqrt{3}, 4)$：
   $f(E) = 5(2+\sqrt{3}) - 4(4) = 5\sqrt{3} - 6$。

2. 目標函數 $f(x,y) = 5x-4y$ 在斜線區域 $R_2$ 上的最小值發生在星形的最左上角頂點 $G(2-\sqrt{3},…