已知 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{3q} = 12$，其中 $p, q > 0$。 將其拆項寫為四項和： $\dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3q} = 12$。 由算幾不等式： $\dfrac{\dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3p} + \dfrac{1}{3q}}{4} \ge \sqrt[4]{\dfrac{1}{3p} \cdot \dfrac{1}{3p} \cdot \dfrac{1}{3p} \cdot \dfrac{1}{3q}}$ $\Rightarrow \dfrac{12}{4} \ge \sqrt[4]{\dfrac{1}{27p^3q}} \Rightarrow 3 \ge \sqrt[4]{\dfrac{1}{27p^3q}}$ $\Rightarrow 3^4 \ge \dfrac{1}{27p^3q} \Rightarrow p^3q \ge \dfrac{1}{3^4 \cdot 27} = \dfrac{1}{3^7 \cdot 3} = \dfrac{1}{3^8} = 3^{-8}$。 目標函數可以化簡為： $3 \log_{\frac{1}{3}} p + \log_{\frac{1}{3}} q = \log_{\frac{1}{3}} (p^3q)$。 因為底數為 $\dfrac{1}{3} < 1$，且 $p^3q \ge 3^{-8}$， 所以 $\log_{\frac{1}{3}} (p^3q) \le \log_{\frac{1}{3}} (3^{-8}) = \log_{3^{-1}} (3^{-8}) = 8$。 因此其最大值為 $8$。 等號成立於： $\dfrac{1}{3p} = \dfrac{1}{3q} = \dfrac{12}{4} = 3 \Rightarrow 3p = \dfrac{1}{3} \Rightarrow p = \dfrac{1}{9}$ 且 $3q = \dfrac{1}{3} \Rightarrow q = \dfrac{1}{9}$， 此時 $(p, q) = \left(\dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{9}\right)$。