(1) 設正三角形 $T_1$ 的面積為 $A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$。 $T_2$ 相比 $T_1$ 多了 $3$ 個小正三角形，每個邊長為 $T_1$ 的 $\dfrac{1}{3}$，面積為 $\dfrac{1}{3^2} A$。 故 $T_2$ 的面積為 $A + 3 \times \dfrac{1}{9} A = A \left(1 + \dfrac{1}{3}\right)$。 $T_3$ 相比 $T_2$ 多了 $3 \times 4 = 12$ 個小正三角形，每個邊長為 $T_1$ 的 $\dfrac{1}{9}$，面積為 $\dfrac{1}{9^2} A = \dfrac{1}{81} A$。 故 $T_3$ 的面積為 $A \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) + 12 \times \dfrac{1}{81} A = A \left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{27}\right) = A \left(1 + \dfrac{9+4}{27}\right) = \dfrac{40}{27} A = \dfrac{40}{27} \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{10\sqrt{3}}{27}$。 (2) $T_n$ 的邊長為 $T_{n-1}$ 的 $\dfrac{1}{3}$，而邊數為 $T_{n-1}$ 的 $4$ 倍。因此，$T_n$ 的周長 $a_n$ 為 $a_{n-1}$ 的 $\dfrac{4}{3}$ 倍。 周長數列 $a_n$ 是首項 $a_1 = 3$，公比為 $\dfrac{4}{3}$ 的等比數列： $a_n = 3 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$。 其倒數數列 $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}$，這是一個首項為 $\dfrac{1}{3}$，公比為 $\dfrac{3}{4}$ 的無窮等比級數。 因為公比 $|r| = \dfrac{3}{4} < 1$，此級數收斂，其和為： $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{4}{3}$。