84 指考數學乙第 5 題

Question

已知 $n$ 及 $k$ 為正整數，且 $n>k$，若 $C^{n}_{k-1} : C^{n}_{k} : C^{n}_{k+1} = 1:2:3$，則 $n = 	ext{______}$。

Accepted Answer

答案：$14$
由 $C^{n}_{k-1} : C^{n}_{k} = 1:2$，即
$$\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} : \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = 1:2$$
約分後得：
$$\dfrac{1}{n-k+1} : \dfrac{1}{k} = 1:2 \implies n = 3k - 1 \  	ext{--- (1)}$$

由 $C^{n}_{k} : C^{n}_{k+1} = 2:3$，即
$$\dfrac{n!}{k!(n-k)!} : \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = 2:3$$
約分後得：
$$\dfrac{1}{n-k…