84 指考數學乙第 6 題

Question

設有一複數等比數列，首項為 $1+2i$，第二項為 $3+i$，則此數列前五項之和為 $	ext{______}$。

Accepted Answer

答案：$6-13i$
等比數列的公比為：
$$r = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{3+i}{1+2i} = 1-i$$
根據等比級數求和公式，前五項之和 $S_5$ 為：
$$S_5 = \dfrac{a_1(r^5-1)}{r-1} = \dfrac{(1+2i)\left[(1-i)^5-1\right]}{-i}$$
其中：
$$(1-i)^5 = -4(1-i) = -4+4i$$
代回 $S_5$ 得：
$$S_5 = \dfrac{(1+2i)(-5+4i)}{-i} = 6-13i$$