由拋物線 $\Gamma$ 的頂點為 $(2,2)$，準線為 $x=1$，可知此拋物線向右開口。 其焦距為 $c = 2 - 1 = 1$。 拋物線的方程式為： $$(y-2)^2 = 4(x-2)$$ 設通過 $(0,3)$ 且斜率 $m > 0$ 的直線 $L$ 方程式為 $y = mx + 3$。 將直線方程式代入拋物線方程式中： $$(mx+1)^2 = 4x - 8 \implies m^2x^2 + 2(m-2)x + 9 = 0 \ \text{--- (*)}$$ 因為直線 $L$ 與拋物線 $\Gamma$ 只有唯一的交點 $Q$，這代表此二次方程式有重根，其判別式 $\Delta$ 必須為 $0$： $$\Delta = [2(m-2)]^2 - 4(m^2)(9) = 0 \implies 2m^2 + m - 1 = 0$$ 解得 $m = \dfrac{1}{2}$ 或 $m = -1$。由於題目要求斜率大於 $0$，故取 $m = \dfrac{1}{2}$。直線 $L$ 的方程式為 $y = \dfrac{1}{2}x + 3$。 將 $m = \dfrac{1}{2}$ 代回方程式 (*) 得 $x^2 - 12x + 36 = 0 \implies x = 6$。代回直線方程式得 $y = 6$。故唯一的交點 $Q$ 坐標為 $(6,6)$。