將兩圓方程式配方： $\Gamma_1: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 96 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 = 101 \Rightarrow$ 圓心 $C_1(1,2)$，半徑 $r_1=\sqrt{101}$。 $\Gamma_2: x^2 + y^2 - 8x - 12y + 48 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 + (y-6)^2 = 2^2 \Rightarrow$ 圓心 $C_2(4,6)$，半徑 $r_2=2$。 兩圓的圓心距離為 $\overline{C_1C_2} = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。 答案為選項 $(4)$。