拋物線 $y = x^2 + hx + h - k^2$ 與 $x$ 軸相切或無交點，表示方程式 $x^2 + hx + h - k^2 = 0$ 的判別式 $\Delta \le 0$。 即 $\Delta = h^2 - 4(h - k^2) \le 0 \Rightarrow h^2 - 4h + 4k^2 \le 0$。 配方得： $$(h - 2)^2 + 4k^2 \le 4 \Rightarrow \dfrac{(h-2)^2}{2^2} + \dfrac{k^2}{1^2} \le 1.$$ 此不等式在平面上所代表的區域 $D$ 為一橢圓（包含邊界）與其內部，因此其邊界圖形是橢圓。 答案為選項 $(2)$。