由前一題可知區域 $D$ 的範圍為 $(h-2)^2 + 4k^2 \le 4$。設目標函數為 $f(h,k) = 2h - 3k$。 我們可將其改寫為 $f(h,k) = 2(h-2) - \dfrac{3}{2}(2k) + 4$。 根據柯西不等式： $$\left[ (h-2)^2 + (2k)^2 \right] \left[ 2^2 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 \right] \ge \left[ 2(h-2) - \dfrac{3}{2}(2k) \right]^2$$ 代入 $(h-2)^2 + 4k^2 \le 4$ 及 $2^2 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = 4 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{25}{4}$ 得： $$4 \times \dfrac{25}{4} \ge (2h - 3k - 4)^2 \Rightarrow 25 \ge (2h - 3k - 4)^2.$$ 解得 $-5 \le 2h - 3k - 4 \le 5 \Rightarrow -1 \le 2h - 3k \le 9$。 因此 $2h - 3k$ 的最大值為 $9$。等號成立時，需滿足： $$\dfrac{h-2}{2} = \dfrac{2k}{-\dfrac{3}{2}} \Rightarrow h - 2 = -\dfrac{8}{3}k.$$ 將其代入邊界方程式 $(h-2)^2 + 4k^2 = 4$ 得： $$\left(-\dfrac{8}{3}k\right)^2 + 4k^2 = 4 \Rightarrow \dfrac{64}{9}k^2 + 4k^2 = 4 \Rightarrow \dfrac{100}{9}k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25}.$$ 因為要使得 $2h - 3k$ 有最大值 $9$，且 $h - 2 = -\dfrac{8}{3}k$。若取 $k = -\dfrac{3}{5}$，則 $h-2 = -\dfrac{8}{3}\left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{8}{5} \Rightarrow h = \dfrac{18}{5}$。 代回驗算：$2\left(\dfrac{18}{5}\right) - 3\left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{36 + 9}{5} = 9$ 確實符合最大值。 故此時點 $(h,k)$ 的坐標為 $\left(\dfrac{18}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)$。 答案為選項 $(3)$。