我們需要求出 $\Delta A_1A_2A_3$ 的兩邊長及其夾角： - 1. 邊長 $\overline{A_1A_2}$：由第 $7$ 題得 $\overline{A_1A_2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。 - 2. 邊長 $\overline{A_2A_3}$：$\Delta OA_2A_3$ 與 $\Delta OA_1A_2$ 相似，其邊長縮小比例為 $\dfrac{\overline{OA_2}}{\overline{OA_1}} = \overline{A_1A_2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。 因此，$\overline{A_2A_3} = \overline{OA_2} \times \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \overline{A_1A_2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{3}$。 - 3. 夾角 $\angle A_1A_2A_3$： 設 $O$ 為原點，$OA_0$ 在 $x$ 軸上。由於 $\angle OA_2A_1 = 120^\circ$，且 $O, A_2, A_0$ 共線，故向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{A_2A_1}$ 的傾角為 $120^\circ$。 又因為 $\overline{A_2A_3} \parallel \overline{OA_1}$，且 $\overline{OA_1}$ 的傾角為 $30^\circ$，故向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{A_2A_3}$ 的傾角為 $30^\circ$。 兩向量的夾角 $\angle A_1A_2A_3 = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$（即為直角）。 根據三角形面積公式： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times \overline{A_1A_2} \times \overline{A_2A_3} \times \sin(\angle A_1A_2A_3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \sin 90^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{18}.$$ 答案為選項 $(5)$。