第一個三角形 $\Delta A_1A_2A_3$ 的面積為 $a = \dfrac{\sqrt{3}}{18}$。 相鄰的下一個三角形 $\Delta A_3A_4A_5$ 與 $\Delta A_1A_2A_3$ 相似，其對應邊長的比值為： $$\dfrac{\overline{A_3A_4}}{\overline{A_1A_2}} = \dfrac{\overline{OA_3}}{\overline{OA_1}} = \overline{A_2A_3} = \dfrac{1}{3}.$$ 因為相似圖形的面積比等於對應邊長比的平方，所以面積的公比為： $$r = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$$ 因此，所有三角形面積之和構成一首項 $a = \dfrac{\sqrt{3}}{18}$，公比 $r = \dfrac{1}{9}$ 的無窮等比級數。其和為： $$S = \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{18}}{1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{18}}{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{\sqrt{3}}{18} \times \dfrac{9}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{16}.$$ 答案為選項 $(1)$。