根據成績直方圖，各組組中點與學生次數分配如下： - $15 \sim 25$ 分：組中點 $x_1 = 20$，人數 $f_1 = 2$ - $25 \sim 35$ 分：組中點 $x_2 = 30$，人數 $f_2 = 3$ - $35 \sim 45$ 分：組中點 $x_3 = 40$，人數 $f_3 = 6$ - $45 \sim 55$ 分：組中點 $x_4 = 50$，人數 $f_4 = 10$ - $55 \sim 65$ 分：組中點 $x_5 = 60$，人數 $f_5 = 7$ - $65 \sim 75$ 分：組中點 $x_6 = 70$，人數 $f_6 = 5$ - $75 \sim 85$ 分：組中點 $x_7 = 80$，人數 $f_7 = 2$ 總人數 $n = 2 + 3 + 6 + 10 + 7 + 5 + 2 = 35$人。 - (一) 計算平均數 $\bar{X}$： 設基準點 $A = 50$： $$\bar{X} = A + \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{7} (x_i - A)f_i$$ $$= 50 + \dfrac{1}{35} \left[ (20-50)\cdot 2 + (30-50)\cdot 3 + (40-50)\cdot 6 + 0\cdot 10 + (60-50)\cdot 7 + (70-50)\cdot 5 + (80-50)\cdot 2 \right]$$ $$= 50 + \dfrac{1}{35} \left[ -60 - 60 - 60 + 0 + 70 + 100 + 60 \right] = 50 + \dfrac{50}{35} = 50 + \dfrac{10}{7} = \dfrac{360}{7} \approx 51.43\text{ 分}.$$ - (二) 計算標準差 $S$： $$S^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{7} (x_i - A)^2 f_i - (\bar{X} - A)^2$$ $$= \dfrac{1}{35} \left[ (-30)^2 \cdot 2 + (-20)^2 \cdot 3 + (-10)^2 \cdot 6 + 0^2 \cdot 10 + 10^2 \cdot 7 + 20^2 \cdot 5 + 30^2 \cdot 2 \right] - \left(\dfrac{10}{7}\right)^2$$ $$= \dfrac{1}{35} \left[ 1800 + 1200 + 600 + 0 + 700 + 2000 + 1800 \right] - \dfrac{100}{49}$$ $$= \dfrac{8100}{35} - \dfrac{100}{49} = \dfrac{1620}{7} - \dfrac{100}{49} = \dfrac{11340 - 100}{49} = \dfrac{11240}{49} \approx 229.39$$ $$S = \sqrt{\dfrac{11240}{49}} = \dfrac{\sqrt{11240}}{7} \approx \dfrac{106.02}{7} \approx 15.15 \approx 15\text{ 分}.$$ - (三) 計算變異係數 $C.V.$： $$C.V. = \dfrac{S}{\bar{X}} \times 100\% = \dfrac{15}{\dfrac{360}{7}} \times 100\% = \dfrac{105}{360} \times 100\% \approx 29.17\% \approx 29\%.$$ 答案為標準差為 $15$，變異係數為 $29\%$（格式為 `15，29`）。