齊次線性方程組有不為零的解，等價於其係數行列式 $\Delta = 0$： $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 10 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & a+2 \end{vmatrix} = 0.$$ 我們對此行列式進行列運算，以第一列為基準，將第一列分別乘以 $-3$、$-2$、$-1$ 加至第二、三、四列： $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & -5 & -7 & -3 \\ 0 & -1 & a-4 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -5 & -7 & -3 \\ -1 & a-4 & a \end{vmatrix}.$$ 接著，對此 $3 \times 3$ 行列式進行列運算，將第一列乘以 $-1$ 加至第三列，並將第一列乘以 $-5$ 加至第二列： $$\Delta = \begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & a-2 & a+2 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ a-2 & a+2 \end{vmatrix}$$ $$= -1 \left[ 3(a+2) - 7(a-2) \right] = -1 \left[ 3a + 6 - 7a + 14 \right] = -1(-4a + 20) = 4a - 20.$$ 令 $\Delta = 0 \Rightarrow 4a - 20 = 0 \Rightarrow a = 5$。 答案為 $5$。