- (1) 證明： 設曲線上任意動點為 $Q(x, f(x))$，則 $Q$ 點到原點 $O(0,0)$ 的距離平方為函數 $g(x)$： $$g(x) = \overline{OQ}^2 = (x-0)^2 + (f(x)-0)^2 = x^2 + f^2(x).$$ 已知 $P(a, f(a))$ 是圖形上距離原點最近的一點，這意味著可微分函數 $g(x)$ 在 $x = a$ 處取得極小值。 依據極值的一階必要條件，其一階導數必為零，即 $g'(a) = 0$： $$g'(x) = 2x + 2f(x)f'(x) \Rightarrow g'(a) = 2a + 2f(a)f'(a) = 0 \Rightarrow a + f(a)f'(a) = 0.$$ 得證。 - (2) 證明： 直線 $OP$ 的斜率為 $m_{OP} = \dfrac{f(a) - 0}{a - 0} = \dfrac{f(a)}{a}$。 由於 $y = f(x)$ 的圖形不通過原點，且 $P(a, f(a))$ 距離原點最近，故 $P$ 點不是原點，即 $a$ 與 $f(a)$ 不同時為零。 - 若 $f(a) = 0$，則由 $a + f(a)f'(a) = 0 \Rightarrow a = 0$，這與圖形不通過原點矛盾，故 $f(a) \neq 0$。 - 若 $a = 0$，則 $f'(a) = 0$。此時在 $P$ 點的切線為水平線，而 $OP$ 為垂直線（即 $y$ 軸），兩者互相垂直，故 $OP$ 為法線。 - 若 $a \neq 0$，由 (1) 的結果 $a + f(a)f'(a) = 0$，可移項得 $f'(a) = -\dfrac{a}{f(a)}$。 在 $P$ 點的切線斜率為 $m_{\text{tangent}} = f'(a)$。 我們計算直線 $OP$ 斜率與切線斜率的乘積： $$m_{OP} \times m_{\text{tangent}} = \dfrac{f(a)}{a} \times f'(a) = \dfrac{f(a)}{a} \times \left(-\dfrac{a}{f(a)}\right) = -1.$$ 由於兩直線斜率相乘為 $-1$，故直線 $OP$ 與在 $P$ 點的切線垂直。 依據法線的定義，與切線垂直且過切點的直線即為法線，故直線 $OP$ 為 $y = f(x)$ 在 $P$ 點的法線。 得證。