將原式因式分解： $$p = (a-11)^2(a^2-2a+137)$$ 由於 $p$ 為質數，且 $a$ 為正整數，則它的兩個因數中必有一個為 $1$。討論如下： 1. 若 $(a-11)^2 = 1 \implies a-11 = \pm 1 \implies a=12$ 或 $a=10$： - 當 $a=12$ 時，$p = (12-11)^2(12^2 - 24 + 137) = 1 \times 257 = 257$，此為質數。 - 當 $a=10$ 時，$p = (10-11)^2(10^2 - 20 + 137) = 1 \times 217 = 217 = 7 \times 31$，非質數。 2. 若 $a^2-2a+137 = 1 \implies a^2-2a+136 = 0$： 判別式 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(136) < 0$，無實數解。 綜上所述，當 $a=12$ 時，$p = 257$ 為所求。