(1) 在 $\triangle ABD$ 中，角平分線分 $\angle ABC$ 得 $\angle ABD = 30^{\circ}$。因此面積為： $$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \overline{BA} \cdot \overline{BD} \cdot \sin\angle ABD = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} \times \sin 30^{\circ} = 3\sqrt{3}$$ (2) 由於 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$，設 $\overline{BC} = x$，則： $$\frac{1}{2} \overline{BA} \cdot \overline{BC} \cdot \sin 60^{\circ} = 3\sqrt{3} + \frac{1}{2} \overline{BD} \cdot \overline{BC} \cdot \sin 30^{\circ}$$ $$\frac{1}{2} \times 6 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} + \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times x \times \frac{1}{2}$$ $$\frac{3\sqrt{3}}{2} x = 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} x \implies \sqrt{3} x = 3\sqrt{3} \implies x = 3$$ 因此 $\overline{BC} = 3$。在 $\triangle ABC$ 中，根據餘弦定理： $$\overline{AC} = \sqrt{\overline{BA}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{BA} \cdot \overline{BC} \cdot \cos\angle ABC} = \sqrt{6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \cos 60^{\circ}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ (3) $\triangle ABC$ 的面積為： $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \overline{BA} \cdot \overline{BC} \cdot \sin\angle ABC = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \sin 60^{\circ} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$