(1) 當 $a=1$ 時，$A$ 點的坐標為 $A(1,1,1)$。
直線 $L_1$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 = (1,2,1)$，直線 $L_1$ 上取一點 $B(2,-1,0)$。
向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (2-1, -1-1, 0-1) = (1,-2,-1)$。
平面 $E_1$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1$ 同時與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1$ 及 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 垂直：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 = (1,-2,-1) \times (1,2,1) = \left( -2 - (-2), -1 - 1, 2 - (-2) \right) = (0,-2,4) \parallel (0,1,-2)$$
由於平面 $E_1$ 過點 $A(1,1,1)$，故 $E_1$ 的方程式為：
$$0 \cdot (x-1) + 1 \cdot (y-1) - 2 \cdot (z-1) = 0 \implies y-2z+1=0$$
(2) 對於任意實數 $a$，有 $A(a,a,a)$：
- 考慮平面 $E_1$：過 $A(a,a,a)$ 且包含 $L_1$。在 $L_1$ 上取點 $B(2,-1,0)$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (2-a, -1-a, -a)$。法向量為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 = (2-a, -1-a, -a) \times (1,2,1) = (a-1, -2, 5-a)$$
- 考慮平面 $E_2$：過 $A(a,a,a)$ 且包含 $L_2$。$L_2$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2 = (1,2,-1)$，在 $L_2$ 上取點 $C(1,3,-2)$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (1-a, 3-a, -2-a)$。法向量為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = \overset{\large\rightharpoonup}{AC} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}_2 = (1-a, 3-a, -2-a) \times (1,2,-1) = (3a+1, -2a-1, -a-1)$$
- 若平面 $E_1$ 與 $E_2$ 互相垂直，其法向量必垂直，即 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = 0$：
$$(a-1)(3a+1) + (-2)(-2a-1) + (5-a)(-a-1) = 0$$
$$(3a^2-2a-1) + (4a+2) + (a^2-4a-5) = 0 \implies 4a^2-2a-4 = 0 \implies 2a^2-a-2 = 0$$
由一元二次方程式的求根公式，解得：
$$a = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$$