$(1)$ 錯誤：矩陣乘法不一定滿足交換律 $AB=BA$。例如取： $$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ 則： $$AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$$ $$BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \ne O$$ 故 $AB \ne BA$。 $(2)$ 正確：矩陣乘法恆滿足結合律，即 $(AB)C = A(BC)$。 $(3)$ 錯誤：若 $AB=O$，不代表 $A=O$ 或 $B=O$。例如 $(1)$ 中所取之反例，當 $A \ne O$ 且 $B \ne O$ 時，其乘積 $AB = O$。 $(4)$ 正確：因為 $\det(A) \ne 0$，故其反矩陣 $A^{-1}$ 存在。於 $AB = AC$ 等號兩側左乘 $A^{-1}$，得： $$A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC) \implies (A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C \implies IB = IC \implies B = C$$ $(5)$ 錯誤：矩陣平方展開為： $$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$$ 由於矩陣乘法之交換律不一定成立（即 $AB$ 不一定等於 $BA$），故其一般不等於 $A^2 + 2AB + B^2$。 綜合以上，正確的敘述為 $(2)(4)$。