首先，寫出此三元一次聯立方程式之係數矩陣的主行列式 $\Delta$： $$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$$ 利用行列式展開或性質計算： $$\Delta = k^3 + 1 + 1 - k - k - k = k^3 - 3k + 2$$ 對其進行因式分解，可得： $$\Delta = (k-1)^2(k+2)$$ 若此聯立方程式無解，則其主行列式 $\Delta$ 必須為 $0$： $$(k-1)^2(k+2) = 0 \implies k = 1 \text{ 或 } k = -2$$ 我們針對這兩個情況進行討論： 1. **當 $k = 1$ 時：** 聯立方程式變為： $$\begin{cases} x+y+z = 1 \\ x+y+z = 1 \\ x+y+z = 1 \end{cases}$$ 此時三個平面重合，聯立方程式有無限多組解（相依方程組），與題意「無解」不符。 2. **當 $k = -2$ 時：** 聯立方程式變為： $$\begin{cases} -2x+y+z = 1 & \cdots\text{①} \\ x-2y+z = -2 & \cdots\text{②} \\ x+y-2z = 4 & \cdots\text{③} \end{cases}$$ 我們將①、②、③三式相加： $$(-2x+x+x) + (y-2y+y) + (z+z-2z) = 1 - 2 + 4$$ $$0x + 0y + 0z = 3 \implies 0 = 3$$ 此為矛盾等式，說明這三個平面無共同交點。故聯立方程式無解，符合題意。 綜上所述，得 $k = -2$。