本題提供兩種解法： ### (1) 求 $\overline{BD}$ 之長 我們設 $\angle BCD = \alpha$，$\angle ABC = \beta$。 因為 $\alpha$ 與 $\beta$ 皆為銳角，且已知 $\sin\beta = \dfrac{24}{25}$，$\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$。 由平方關係可得： $$\cos\beta = \sqrt{1 - \left(\dfrac{24}{25}\right)^2} = \dfrac{7}{25}$$ $$\cos\alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5}$$ 如圖一所示，自頂點 $D$ 向邊 $\overline{BC}$ 作垂線，垂足為 $E$。在直角三角形 $\triangle CDE$ 中，$\overline{CD} = 15$： - 垂線高 $\overline{DE} = \overline{CD} \sin\alpha = 15 \times \dfrac{4}{5} = 12$。 - 底段 $\overline{CE} = \overline{CD} \cos\alpha = 15 \times \dfrac{3}{5} = 9$。 已知整個底邊 $\overline{BC} = 25$，因此另一段底段 $\overline{BE}$ 長度為： $$\overline{BE} = \overline{BC} - \overline{CE} = 25 - 9 = 16$$ 在直角三角形 $\triangle BDE$ 中，利用畢氏定理可得對角線 $\overline{BD}$ 長度為： $$\overline{BD} = \sqrt{\overline{BE}^2 + \overline{DE}^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20.$$ --- ### (2) 求 $\overline{AD}$ 之長 **解法一（餘弦定理與和差角公式）：** 在直角三角形 $\triangle BDE$ 中，我們可求得其內角的三角函數值： $$\sin \angle DBE = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{BD}} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$ $$\cos \angle DBE = \dfrac{\overline{BE}}{\overline{BD}} = \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5}$$ 由圖可知，角 $\angle ABD = \beta - \angle DBE$。我們利用餘弦的和差角公式展開： $$\cos \angle ABD = \cos(\beta - \angle DBE) = \cos\beta \cos\angle DBE + \sin\beta \sin\angle DBE$$ $$= \left(\dfrac{7}{25}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) + \left(\dfrac{24}{25}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)$$ $$= \dfrac{28}{125} + \dfrac{72}{125} = \dfrac{100}{125} = \dfrac{4}{5}.$$ 接著在三角形 $\triangle ABD$ 中，已知 $\overline{AB} = 16$，$\overline{BD} = 20$，且已得其夾角的餘弦值 $\cos\angle ABD = \dfrac{4}{5}$。由餘弦定理得： $$\overline{AD}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2 \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cos\angle ABD$$ $$\overline{AD}^2 = 16^2 + 20^2 - 2(16)(20)\left(\dfrac{4}{5}\right)$$ $$= 256 + 400 - 512 = 144$$ $$解得 \overline{AD} = \sqrt{144} = 12.$$ **解法二（平面直角坐標系法）：** 如圖二所示，我們以 $B$ 點為原點 $(0,0)$，邊 $\overline{BC}$ 所在直線為 $x$ 軸建立直角坐標系。 - 頂點 $B$ 的坐標為 $(0,0)$。 - 因為 $\overline{BC} = 25$，故頂點 $C$ 的坐標為 $(25,0)$。 - 由於垂足 $E$ 在 $x$ 軸上且 $\overline{BE} = 16$，$\overline{DE} = 12$，可得頂點 $D$ 的坐標為 $(16,12)$。 - 已知 $\overline{AB} = 16$，且角 $\beta = \angle ABC$ 滿足 $\cos\beta = \dfrac{7}{25}$，$\sin\beta = \dfrac{24}{25}$，故頂點 $A$ 坐標為： $$A = (16 \cos\beta, \ 16 \sin\beta) = \left( 16 \times \dfrac{7}{25}, \ 16 \times \dfrac{24}{25} \right) = \left( \dfrac{112}{25}, \ \dfrac{384}{25} \right)$$ 利用兩點間距離公式計算 $\overline{AD}$ 的長度。其位移向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = D - A = \left( 16 - \dfrac{112}{25}, \ 12 - \dfrac{384}{25} \right) = \left( \dfrac{288}{25}, \ -\dfrac{84}{25} \right)$$ 提取公因數 $\dfrac{12}{25}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \dfrac{12}{25} (24, \ -7)$$ 則向量長度為： $$\left| \overset{\large\rightharpoonup}{AD} \right| = \dfrac{12}{25} \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \dfrac{12}{25} \times 25 = 12.$$ 即 $\overline{AD}$ 之長為 $12$。 **答：(1) $\overline{BD} = 20$； (2) $\overline{AD} = 12$。**