86 指考數學乙第 7 題

Question

一個邊長為 $n$ 的大正方形中，共有 $n^2$ 個單位正方形，如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒，而此大正方形共用了 $a_n$ 根火柴棒，那麼 $a_{n+1} - a_n = 	ext{____}$。

Accepted Answer

答案：$4n+4$
在邊長為 $n$ 的大正方形中，水平與垂直火柴棒數皆為 $n(n+1)$ 根，
故總火柴棒數為 $a_n = 2n(n+1)$。
則有
$$a_{n+1} = 2(n+1)(n+2)$$
兩者相減得
$$a_{n+1} - a_n = 2(n+1)(n+2) - 2n(n+1) = 2(n+1)(n+2 - n) = 4n+4$$