**解法一** 設 $\overline{AD}=x$，因為 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ABD$ 共用 $\angle B$，則由餘弦定理得 $$\dfrac{\overline{BC}^2+\overline{BA}^2-\overline{AC}^2}{2 \cdot \overline{BC} \cdot \overline{BA}}=\dfrac{\overline{BD}^2+\overline{BA}^2-\overline{AD}^2}{2 \cdot \overline{BD} \cdot \overline{BA}}$$ 代入各邊長 $$\dfrac{5^2+7^2-3^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}=\dfrac{7^2+7^2-x^2}{2 \cdot 7 \cdot 7} \implies \dfrac{65}{70}=\dfrac{98-x^2}{98} \implies x^2=7$$ 解得 $x=\sqrt{7}$。所以 $\overline{AD}=\sqrt{7}$。 **解法二** 在 $\triangle ABC$ 中，由餘弦定理 $$\cos \angle ACB=\dfrac{3^2+5^2-7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}=-\dfrac{1}{2}$$ 所以 $\angle ACB=120^{\circ}$，故鄰補角 $\angle ACD=60^{\circ}$。在 $\triangle ACD$ 中，由餘弦定理 $$\overline{AD}=\sqrt{3^2+2^2-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^{\circ}}=\sqrt{9+4-6}=\sqrt{7}$$