87 指考數學甲第 2 題

Question

曲線 $y = \sin x$ 在 $0 < x < 2\pi$ 的範圍內（注意 $x = 0$ 之處已除外），有幾條切線會通過原點？

Accepted Answer

答案：$(2)$
**解法一（圖形觀察）：**

作 $y=\sin x$ 在 $0<x<2\pi$ 的圖形。由圖可知，在此區間內能通過原點的切線只有一條，因此答案為 $(2)$。

**解法二（切線方程）：**

設切點為 $(\alpha,\sin\alpha)$，其中 $0<\alpha<2\pi$。因為 $y'=\cos x$，所以切線斜率為 $\cos\alpha$，切線方程式為
$$y-\sin\alpha=\cos\alpha(x-\alpha).$$
若切線通過原點 $(0,0)$，代入得
$$-\sin\alpha=-\alpha\cos\alpha,$$
即
$$\alpha=\dfrac{…