設該四面體之內切球球心坐標為 $O(a, a, a)$，其中 $a > 0$。 球心到三座標平面 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 的距離均為 $a$，這符合內切球半徑為 $a$ 的定義。 球心到第四個平面 $x+y+z-1=0$ 的距離必須也等於半徑 $a$： $$d = \dfrac{|a + a + a - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|3a - 1|}{\sqrt{3}}$$ 令距離等於 $a$，得方程式： $$\dfrac{|3a - 1|}{\sqrt{3}} = a \Rightarrow |3a - 1| = \sqrt{3}a$$ 我們分兩種情況討論： 1. 若 $3a - 1 < 0$，則： $$1 - 3a = \sqrt{3}a \Rightarrow (3+\sqrt{3})a = 1 \Rightarrow a = \dfrac{1}{3+\sqrt{3}} = \dfrac{3-\sqrt{3}}{6}$$ 此時球心為 $O\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3-\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\right)$，確實在四面體內部，符合要求。 2. 若 $3a - 1 > 0$，則： $$3a - 1 = \sqrt{3}a \Rightarrow (3-\sqrt{3})a = 1 \Rightarrow a = \dfrac{1}{3-\sqrt{3}} = \dfrac{3+\sqrt{3}}{6}$$ 此時 $a \approx 0.789 > \dfrac{1}{3}$，球心坐標之和 $3a > 1$，球心已在平面 $x+y+z=1$ 外部，不合。 因此，四面體內切球的半徑為 $\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}$。