設 $f(x) = x^{1/3}$。我們求其在 $x=8$ 點的一階與二階導數值： 一階導數： $$f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-2/3} \Rightarrow f'(8) = \dfrac{1}{3} \cdot 8^{-2/3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$$ 二階導數： $$f''(x) = -\dfrac{2}{9}x^{-5/3} \Rightarrow f''(8) = -\dfrac{2}{9} \cdot 8^{-5/3} = -\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{32} = -\dfrac{1}{144}$$ 函數 $f(x)$ 在 $x=8$ 附近的二次泰勒近似多項式（二次近似）為： $$P_2(x) = f(8) + \dfrac{f'(8)}{1!}(x-8) + \dfrac{f''(8)}{2!}(x-8)^2$$ $$P_2(x) = 2 + \dfrac{1}{12}(x-8) - \dfrac{1}{288}(x-8)^2$$ 我們要求 $\sqrt[3]{7}$ 的近似值，代入 $x=7$（此時 $x-8 = -1$）： $$\sqrt[3]{7} \approx P_2(7) = 2 + \dfrac{1}{12}(-1) - \dfrac{1}{288}(-1)^2$$ $$= 2 - \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{288}$$ $$= \dfrac{576 - 24 - 1}{288} = \dfrac{551}{288}$$ 此近似值以分數表示為 $\dfrac{551}{288}$。