將恆等式兩邊展開： 左式： $$(13x+a)^2 = 169x^2 + 26ax + a^2$$ 右式： $$(12x+b)^2 + (5x+c)^2 = (144x^2 + 24bx + b^2) + (25x^2 + 10cx + c^2)$$ $$= 169x^2 + (24b + 10c)x + (b^2 + c^2)$$ 因為此式對任意實數 $x$ 恆成立，對照兩側的係數可得聯立方程組： 1) 一次項係數：$26a = 24b + 10c \Rightarrow 13a = 12b + 5c$ 2) 常數項：$a^2 = b^2 + c^2$ 將式 (1) 兩邊平方： $$(13a)^2 = (12b + 5c)^2 \Rightarrow 169a^2 = 144b^2 + 120bc + 25c^2$$ 將式 (2) 的 $a^2 = b^2 + c^2$ 代入上式中： $$169(b^2 + c^2) = 144b^2 + 120bc + 25c^2$$ $$169b^2 + 169c^2 = 144b^2 + 120bc + 25c^2$$ $$25b^2 - 120bc + 144c^2 = 0$$ $$(5b - 12c)^2 = 0 \Rightarrow 5b = 12c \Rightarrow b : c = 12 : 5$$ 設 $b = 12k$, $c = 5k$，其中 $k$ 為正整數。 因為 $12$ 與 $5$ 互質，所以 $b$ 與 $c$ 的最大公因數為 $k$。 已知 $b$、$c$ 的最大公因數為 $2$，故 $k = 2$。 代入可求得： $$b = 12 \times 2 = 24$$ $$c = 5 \times 2 = 10$$ 再代入式 (2) 求 $a$： $$a^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$$ 因為 $a$ 為正整數，得 $a = 26$。 故所求為 $a = 26$, $b = 24$, $c = 10$。