拋物線方程式為 $ay = a^2 - x^2 \Rightarrow y = a - \dfrac{x^2}{a}$。 對其求導，得切線斜率函數： $$y' = -\dfrac{2x}{a}$$ 已知點 $P(s, t)$ 在拋物線上，且 $s > 0$，故其坐標可表示為 $P\left(s, a - \dfrac{s^2}{a}\right)$。 過點 $P$ 的切線斜率為 $m = -\dfrac{2s}{a}$。利用點斜式，切線方程式為： $$y - \left(a - \dfrac{s^2}{a}\right) = -\dfrac{2s}{a}(x - s)$$ 我們求此切線與兩軸的交點： 1. **與 $y$ 軸的交點 $R$**： 令 $x=0$，得： $$y = a - \dfrac{s^2}{a} + \dfrac{2s^2}{a} = a + \dfrac{s^2}{a}$$ 故 $R\left(0, a + \dfrac{s^2}{a}\right)$。 2. **與 $x$ 軸的交點 $Q$**： 令 $y=0$，得： $$-\left(a - \dfrac{s^2}{a}\right) = -\dfrac{2s}{a}(x - s) \Rightarrow a^2 - s^2 = 2s(x - s) = 2sx - 2s^2$$ $$2sx = a^2 + s^2 \Rightarrow x = \dfrac{a^2 + s^2}{2s}$$ 故 $Q\left(\dfrac{a^2 + s^2}{2s}, 0\right)$。 因此，$\Delta OQR$ 的面積函數 $f(s)$ 為： $$f(s) = \dfrac{1}{2} \cdot OQ \cdot OR = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{a^2 + s^2}{2s}\right) \cdot \left(a + \dfrac{s^2}{a}\right) = \dfrac{(a^2 + s^2)^2}{4as}$$ 我們對 $s$ 進行微分以求最小值： $$f'(s) = \dfrac{d}{ds}\left[\dfrac{(a^2+s^2)^2}{4as}\right] = \dfrac{2(a^2+s^2)(2s) \cdot 4as - (a^2+s^2)^2 \cdot 4a}{(4as)^2}$$ $$= \dfrac{16as^2(a^2+s^2) - 4a(a^2+s^2)^2}{16a^2s^2} = \dfrac{4a(a^2+s^2)[4s^2 - (a^2+s^2)]}{16a^2s^2}$$ $$= \dfrac{(a^2+s^2)(3s^2 - a^2)}{4as^2}$$ 令 $f'(s) = 0$。因為 $a > 0$ 且 $s > 0$，所以 $a^2 + s^2 > 0$。 故唯一可能的極值點為： $$3s^2 - a^2 = 0 \Rightarrow s = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$ 當 $s = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ 時，面積 $f(s)$ 取得最小值（由一階導數變號可知其為極小值且為全域最小值）： $$f\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{\left(a^2 + \dfrac{a^2}{3}\right)^2}{4a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}a^2\right)^2}{\dfrac{4a^2}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\dfrac{16}{9}a^4}{\dfrac{4a^2}{\sqrt{3}}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}a^2$$ 故 $\Delta OQR$ 面積的最小值為 $\dfrac{4\sqrt{3}}{9} a^2$。