$(1)$ 正確：若 $a = 0$ 且 $b = 0$，則方程式為 $x^2 - 4y = 0$，為拋物線。 $(2)$ 錯誤：若 $a = 0$ 且 $b \neq 0$，則方程式為 $x^2 + 2bx = 4y$，配方得 $(x+b)^2 = 4y+b^2$，仍為拋物線。因此 $\Gamma$ 為拋物線時不必然 $b = 0$。 $(3)$ 正確：若 $\Gamma$ 為圓，則 $x^2$ 與 $y^2$ 項係數必須相等，所以 $a = 1$。 $(4)$ 正確：若 $\Gamma$ 為橢圓，則 $x^2$ 與 $y^2$ 項係數同號且不相等，所以 $a > 0$。 $(5)$ 正確：若 $\Gamma$ 為雙曲線，則 $x^2$ 與 $y^2$ 項係數異號，所以 $a < 0$。 因此只有 $(2)$ 錯誤，其餘選項正確，答案為 $(1)(3)(4)(5)$。