令數列的前 $n$ 項和為 $S_n = 2^{n+1} \cdot (n^2 - 2n)$。 當 $n = 1$ 時， $$a_1 = S_1 = 2^{2} \cdot (1^2 - 2 \cdot 1) = 4 \cdot (-1) = -4$$ 當 $n \ge 2$ 時， $$S_{n-1} = 2^n \cdot \left[ (n-1)^2 - 2(n-1) \right] = 2^n \cdot (n^2 - 2n + 1 - 2n + 2) = 2^n \cdot (n^2 - 4n + 3)$$ 利用 $a_n = S_n - S_{n-1}$，可得： $$a_n = 2^{n+1}(n^2 - 2n) - 2^n(n^2 - 4n + 3)$$ $$a_n = 2^n \left[ 2(n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) \right]$$ $$a_n = 2^n (2n^2 - 4n - n^2 + 4n - 3)$$ $$a_n = 2^n (n^2 - 3)$$ 檢驗當 $n=1$ 時，公式得 $a_1 = 2^1(1^2 - 3) = 2(-2) = -4$，與實際值相符。 故此數列的第 $n$ 項公式為 $a_n = 2^n (n^2 - 3)$。