將圓方程式 $x^2+y^2-8x+4y-5=0$ 配方，得 $$(x-4)^2+(y+2)^2=25,$$ 所以圓心為 $C(4,-2)$，半徑為 $5$。 假設圓上過點 $A$、$B$ 的兩條互相垂直切線交於 $P(x,y)$。因為切線段 $\overline{PA}=\overline{PB}$，且圓半徑 $\overline{CA}=\overline{CB}$，所以四邊形 $PACB$ 為正方形。對角線 $$\overline{PC}=\sqrt{2}\times \overline{AC}=5\sqrt{2}.$$ 又 $P(x,y)$、$C(4,-2)$，由兩點距離公式， $$\overline{PC}=\sqrt{(x-4)^2+(y+2)^2}=5\sqrt{2}.$$ 平方展開得 $$(x-4)^2+(y+2)^2=50,$$ 所以點 $P$ 的軌跡方程式為 $$x^2+y^2-8x+4y-30=0.$$