88 指考數學甲第 3 題

Question

將連接 $(1,0,0)$ 與 $(0,0,1)$ 兩點的直線，繞 $z$ 軸旋轉而得一直圓錐面，則此直圓錐面與平面 $x=2$ 相交而得的圖形為一

Accepted Answer

答案：(5)
連接 $(1,0,0)$ 與 $(0,0,1)$ 的直線在 $xz$ 平面上的方程式為 $x + z = 1$ ($y=0$)，即 $x = 1 - z$。
此直線繞 $z$ 軸旋轉所得之直圓錐面，其方程式可藉由將 $x$ 替換為 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$ 得到：
$x^2 + y^2 = (1 - z)^2$。
將平面 $x = 2$ 代入此圓錐面方程式：
$2^2 + y^2 = (z - 1)^2 \Rightarrow (z - 1)^2 - y^2 = 4$。
這在平面 $x=2$ 上代表一個「雙曲線」。