我們利用列簡化梯形形式 (RREF) 或行列式值來判斷各方陣的秩 (Rank)： (1) $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$。因為 $R_2 = 2R_1$, $R_3 = 3R_1$，所有列向量皆與 $R_1$ 線性相關，故 $\text{Rank}(A_1) = 1$。 (2) $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。因為 $R_2 = 2R_1$, $R_3 = 0$，故 $\text{Rank}(A_2) = 1$。 (3) $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。此為上三角矩陣且對角線元素皆不為 $0$，其行列式值 $\det(A_3) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$，故 $\text{Rank}(A_3) = 3$。 (4) $A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$。 將矩陣進行列初等變換： $R_2 - 2R_1 = (0, -1, -2)$ $R_3 - 3R_1 = (0, -2, -4)$ 因為 $R_3 - 3R_1 = 2(R_2 - 2R_1)$，第三列為多餘，故線性獨立的列向量個數為 $2$，$\text{Rank}(A_4) = 2$。 (5) $A_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{pmatrix}$。 計算其行列式： $\det(A_5) = 1(4 \cdot 27 - 9 \cdot 8) - 2(1 \cdot 27 - 9 \cdot 1) + 3(1 \cdot 8 - 4 \cdot 1) = 36 - 36 + 12 = 12 \neq 0$。 因此其為滿秩矩陣，$\text{Rank}(A_5) = 3$。 故選 (4)。