令 $g(x) = x(x-1)(x+1) = x^3 - x$。其與 $x$ 軸的交點為 $x = -1, 0, 1$。 方程式 $f(x) = g(x) + 0.01 = 0$ 的根，即為函數 $y = g(x)$ 的圖形向上平移 $0.01$ 單位後與 $x$ 軸的交點。 我們求 $g(x)$ 的極值： $g'(x) = 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$。 - 當 $x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 時，有極大值 $g\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.385$。 - 當 $x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 時，有極小值 $g\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\dfrac{2}{3\sqrt{3}} \approx -0.385$。 向上平移 $0.01$ 後，新函數 $f(x)$ 的： - 極大值為 $0.385 + 0.01 = 0.395 > 0$。 - 極小值為 $-0.385 + 0.01 = -0.375 < 0$。 因為極大值仍然大於 $0$ 且極小值仍然小於 $0$，所以與 $x$ 軸仍有三個交點，即有三個實根。選項 (1) 正確。 我們分析各區間根的分布： - 在 $x < -1$ 區間：由於 $f(-1) = g(-1) + 0.01 = 0.01 > 0$，而當 $x \to -\infty$ 時 $f(x) \to -\infty$，且在 $x < -1$ 時 $f(x)$ 單調遞增，故在此區間內恰有一實根。選項 (2) 正確。 - 在 $-1 < x < 0$ 區間：因為 $f(-1) = 0.01 > 0$ 且 $f(0) = 0.01 > 0$，且在此區間內極大值為正，函數並未穿過 $x$ 軸，故無實根。選項 (3) 錯誤。 - 在 $0 < x < 1$ 區間：因為 $f(0) = 0.01 > 0$ 且 $f(1) = 0.01 > 0$，但此區間內的極小值約為 $-0.375 < 0$，由中間值定理，在 $\left(0, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 與 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}, 1\right)$ 內各有一實根，共兩個實根。選項 (4) 錯誤。 - 在 $x > 1$ 區間：因為 $f(1) = 0.01 > 0$，且在此區間內函數單調遞增，故無實根。選項 (5) 錯誤。 故選 (1)(2)。