建立空間直角坐標系。設頂點 $A$ 在原點 $(0,0,0)$。因為 $A, B$ 是此正立方體中通過原點的體對角線兩端點，其體對角線長為 $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$。 由於頂點 $B$ 在正 $z$ 軸上，故 $B$ 的坐標為 $(0,0,\sqrt{3})$。 設頂點 $C$ 的坐標為 $(a,b,c)$，其中 $c$ 即為頂點 $C$ 的 $z$ 坐標。 - 因為 $C$ 與 $A(0,0,0)$ 的距離為正立方體的邊長 $1$： $\overline{CA} = a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ——— (1) - 因為 $C$ 與 $B(0,0,\sqrt{3})$ 的距離為正立方體的面對角線長 $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$： $\overline{CB} = a^2 + b^2 + (c - \sqrt{3})^2 = 2$ ——— (2) 將 (2) 式減去 (1) 式： $(c - \sqrt{3})^2 - c^2 = 2 - 1$ $c^2 - 2\sqrt{3}c + 3 - c^2 = 1$ $-2\sqrt{3}c + 3 = 1 \Rightarrow 2\sqrt{3}c = 2 \Rightarrow c = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$。 故頂點 $C$ 的 $z$ 坐標為 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。