設點的坐標為 $(x, y, z)$，其中 $x, y, z$ 為整數。與原點的距離為 $\sqrt{17}$，意即： $x^2 + y^2 + z^2 = 17$。 我們尋找三個整數的平方和為 $17$。可能的整數平方數為 $0, 1, 4, 9, 16$。 相加為 $17$ 的組合只有以下兩種情況： 1. 平方數組合為 $\{16, 1, 0\}$，即 $\{|x|, |y|, |z|\} = \{4, 1, 0\}$ 的排列： - 三個數中含有一個 $0$，兩個非零數。將其分派給 $x, y, z$ 的排列方法數為 $\dfrac{3!}{1!} = 6$ 種。 - 非零的兩個數各有正負兩種選擇，故方法數為 $6 \times 2 \times 2 = 24$ 種。 2. 平方數組合為 $\{9, 4, 4\}$，即 $\{|x|, |y|, |z|\} = \{3, 2, 2\}$ 的排列： - 將這三個數分派給 $x, y, z$ 的排列方法數為 $\dfrac{3!}{2!} = 3$ 種。 - 三個非零數各有正負兩種選擇，故方法數為 $3 \times 2^3 = 24$ 種。 綜上所述，滿足條件的整數點一共有 $24 + 24 = 48$ 個。