**解法一（代數平方法）：** 由已知 $\cos\theta + 3\sin\theta = 2 \Rightarrow 3\sin\theta = 2 - \cos\theta$。 將兩邊平方得： $9\sin^2\theta = 4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta$。 代入 $\sin^2\theta = 1 - \cos\theta^2$： $9(1 - \cos^2\theta) = 4 - 4\cos\theta + \cos^2\theta$ $10\cos^2\theta - 4\cos\theta - 5 = 0$。 利用一元二次方程式公式解求 $\cos\theta$： $\cos\theta = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4(10)(-5)}}{20} = \dfrac{4 \pm \sqrt{216}}{20} = \dfrac{2 \pm 3\sqrt{6}}{10}$。 因為 $0^\circ < \theta < 90^\circ$，$\cos\theta > 0$，故 $\cos\theta = \dfrac{2 + 3\sqrt{6}}{10}$。 代回 $3\sin\theta = 2 - \cos\theta$： $3\sin\theta = 2 - \dfrac{2 + 3\sqrt{6}}{10} = \dfrac{18 - 3\sqrt{6}}{10} \Rightarrow \sin\theta = \dfrac{6 - \sqrt{6}}{10}$。 因此： $\cos\theta + \sin\theta = \dfrac{2 + 3\sqrt{6}}{10} + \dfrac{6 - \sqrt{6}}{10} = \dfrac{8 + 2\sqrt{6}}{10} = \dfrac{4 + \sqrt{6}}{5}$。 **解法二（疊合與參數法）：** 設 $\cos\theta + \sin\theta = t$。 由正餘弦疊合可知 $t = \sqrt{2}\cos\left(\theta - 45^\circ\right)$。 因為 $0^\circ < \theta < 90^\circ \Rightarrow -45^\circ < \theta - 45^\circ < 45^\circ$， 故 $\dfrac{1}{\sqrt{2}} < \cos\left(\theta - 45^\circ\right) \le 1 \Rightarrow 1 < t \le \sqrt{2}$。 聯立方程式： $\begin{cases} \cos\theta + \sin\theta = t \\ \cos\theta + 3\sin\theta = 2 \end{cases}$ 相減得 $2\sin\theta = 2 - t \Rightarrow \sin\theta = \dfrac{2 - t}{2}$。 代回得 $\cos\theta = t - \sin\theta = \dfrac{3t - 2}{2}$。 將其代入關係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$： $\left(\dfrac{2 - t}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3t - 2}{2}\right)^2 = 1$ $\dfrac{4 - 4t + t^2}{4} + \dfrac{9t^2 - 12t + 4}{4} = 1 \Rightarrow 10t^2 - 16t + 8 = 4$ $5t^2 - 8t + 2 = 0$。 解得 $t = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(2)}}{10} = \dfrac{4 \pm \sqrt{6}}{5}$。 因為 $\sqrt{2} \approx 1.414$，而 $\dfrac{4 - \sqrt{6}}{5} \approx 0.31 < 1$ 不合； $\dfrac{4 + \sqrt{6}}{5} \approx 1.29$ 介於 $1$ 與 $\sqrt{2}$ 之間，符合條件。 故 $\cos\theta + \sin\theta = \dfrac{4 + \sqrt{6}}{5}$。 解法三（向量投影法）： 由 $\cos\theta+3\sin\theta=2$ 的係數關係，令 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}=(1,3)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\angle AOB=\alpha$。則 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=2$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\right|=\sqrt{10}$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\right|=1$。 由內積夾角公式可得 $\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$，且 $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$。 在 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 上取一點 $C$，使得 $BC\perp OA$。因為 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\right|=1$，所以 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OC}\right|=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$，$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{CB}\right|=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$。 而 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$ 為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 方向的單位向量，$\dfrac{1}{\sqrt{10}}(3,-1)$ 為其順時針旋轉 $90^\circ$ 後的單位向量。又 $0^\circ<\theta<90^\circ$，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)+\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)$， 即 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}=\left(\dfrac{2+3\sqrt{6}}{10},\dfrac{6-\sqrt{6}}{10}\right)$。因此 $B\left(\dfrac{2+3\sqrt{6}}{10},\dfrac{6-\sqrt{6}}{10}\right)$，所以 $\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{2+3\sqrt{6}}{10}+\dfrac{6-\sqrt{6}}{10}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}$。