由圖可知，頂點 $A$ 的坐標為 $(-a, 0)$，頂點 $B$ 的坐標為 $(0, -b)$。 設點 $P(x, y)$ 為第一象限橢圓弧上的動點，滿足 $x > 0$, $y > 0$ 且 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。 我們考慮向量： $\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = (x + a, y)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (a, -b)$ 則 $\Delta ABP$ 的面積 $S$ 為： $S = \dfrac{1}{2} \left| (x+a)(-b) - y(a) \right| = \dfrac{1}{2} \left| -(bx + ay + ab) \right|$ 因為 $a, b, x, y$ 均為正數，故 $bx + ay + ab > 0$，面積可簡化為： $S = \dfrac{1}{2} (bx + ay + ab)$ ——— (1) 欲求 $S$ 的最大值，等同於求 $bx + ay$ 的最大值。 根據柯西不等式： $\left[ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \right] \left[ (ab)^2 + (ab)^2 \right] \ge (bx + ay)^2$ 將橢圓方程式 $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$ 代入： $1 \times 2(ab)^2 \ge (bx + ay)^2 \Rightarrow bx + ay \le \sqrt{2}ab$ 將其代回 (1) 式，可得 $\Delta ABP$ 面積的最大值為： $S_{\max} = \dfrac{(1 + \sqrt{2})ab}{2}$。