建立平面直角坐標系，設觀測站為原點 $O(0,0)$，相會點為 $C(12,0)$。 設經過 $t$ 小時後，兩船的位置分別為 $A$ 與 $B$： - $A$ 船以速度 $12$ 往南，坐標為 $A(12, -12t)$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} = (12, -12t)$； - $B$ 船以速度 $3$ 往北，坐標為 $B(12, 3t)$，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB} = (12, 3t)$。 由於 $A$ 船與 $B$ 船同在直線 $x = 12$ 上，而 $O$ 點在 $y$ 軸上，故直角必在 $\angle AOB$。 此時兩向量垂直，內積為 $0$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = 12 \times 12 + (-12t)(3t) = 144 - 36t^2 = 0$$ $$36t^2 = 144 \implies t^2 = 4$$ 因為 $t > 0$，解得 $t = 2$。