若要最後一次抽取時袋中只剩 $5$ 號球，表示 $5$ 號球是最後一次被抽中的球，且在它之前所有其他的球都被取出了。 因為 $5$ 被抽中時會取走其因數 $1$ 與本身 $\{1, 5\}$，其他球被抽中時帶走的球集合為： - 抽 $1$：取走 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$（全部取完，若首抽 $1$，則最後一次並非剩 $5$）。 - 抽 $2$：取走 $\{1, 2, 4, 6\}$。 - 抽 $3$：取走 $\{1, 3, 6\}$。 - 抽 $4$：取走 $\{1, 2, 4\}$。 - 抽 $5$：取走 $\{1, 5\}$。 - 抽 $6$：取走 $\{1, 2, 3, 6\}$。 最後一次抽中的球號只能是 $\{2, 3, 4, 6\}$ 之一： - 狀況 ①：第一次抽 $2$，第二次抽 $3$：機率為 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$。 - 狀況 ②：第一次抽 $3$，第二次抽 $2$ 或 $4$：機率為 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} \times 2 = \frac{1}{9}$。 - 狀況 ③：第一次抽 $4$，第二次抽 $3$ 或 $6$：機率為 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} \times 2 = \frac{1}{9}$。 - 狀況 ④：第一次抽 $6$，第二次抽 $4$：機率為 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$。 故所求機率為： $$\frac{1}{12} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$$ 答案選 $(1)$。